Eksponen

Pengertian Eksponen

Bentuk aⁿ (bacanya a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :

Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :

Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:

Contoh:

Ubahlah bentuk ini dalam bentuk pangkat positif :

Jawab:

2. Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a > 0 dan Jika a > 0 dan , maka disebut fungsi eksponen mempunyai sifat-sifat :

(i) Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)

(ii) Mempunyai asimtot datar y = 0 (sumbu x )

(iii) Monoton naik untuk a > 1

(iv) Monoton turun untuk 0 <>

Grafik fungsi eksponen y = ax

(i) y = ax : a > 1

(i) y = ax 0 <>

Contoh:

Buatlah grafik dari y = 2x!

Jawab:

Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f (x) = 2x . Dalam hal ini pilih nilai x sehingga y mudah ditentukan.

3. Persamaan fungsi Eksponen

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, diantaranya adalah:

- F ( x ) = 1

- Untuk f(x) 0 dan f(x) 1, maka f(x) = g(x)

- f ( x ) = -1 asalkan f (x) dan g (x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil,

- f ( x ) = 0 asalkan f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0

Contoh :

Tentukan nilai x supaya

Jawab:

4. Pertidaksamaan Eksponen

1. f ( x ) > g ( x ), 0 > 1

2. f ( x ) <>Contoh:

Himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan adalah.... 

Jawab:

Jadi HP = { x | x > 2 }

Nilai Mutlak

Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

by yos3prens

Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).

Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat berikut.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak
Jika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.

Seperti yang dinyatakan dalam sifat persamaan nilai mutlak, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita mengisolasi simbol nilai mutlak pada satu ruas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.

Pembahasan Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.

Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak, sehingga

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan selesaiannya adalah {4, 10}.

Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.

Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk. Tetapi dalam menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak.

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Pembahasan Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan

Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.

Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak
Jika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|. Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.

Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.

Pembahasan Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.

Diperoleh selesaian dari persamaan tersebut adalah x = –4 atau x = 4.